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Cuadrado para el 9° grado
Propiedades, características y comprobaciones
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¿Qué es un cuadrado?
Un cuadrilátero cuyos lados (o aristas) son todos iguales y todos sus ángulos también lo son, es un cuadrado. Además, un cuadrado es una combinación entre un paralelogramo, un rombo y un rectángulo. Por lo tanto, el cuadrado cuenta con todas las propiedades del paralelogramo, del rombo y del rectángulo.
En un cuadrado hay dos pares de lados opuestos paralelos.
Las diagonales del cuadrado se intersecan, son perpendiculares e iguales.
Las diagonales del cuadrado son bisectrices.
Demostración del cuadrado
Si todos los lados y ángulos de un cuadrilátero son iguales podemos determinar que se trata de un cuadrado. ¿Cómo podemos demostrar que un cuadrilátero es un cuadrado si no tenemos ningún dato? Actuaremos en el siguiente orden:
Demostraremos que el cuadrilátero es un paralelogramo.
Demostraremos que el paralelogramo es un rectángulo o rombo.
Demostraremos que el rectángulo o rombo es un cuadrado.
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Indicaremos el área del cuadrado con la letra A y el lado (o arista) del cuadrado con la letra a. La fórmula será: A=a×a o A=a2
Cuadrado
El cuadrado es una figura muy especial. En este artículo aprenderemos todo lo que se debe saber acerca del cuadrado y conoceremos sus increíbles propiedades.
El cuadrado es una combinación entre un paralelogramo, un rombo y un rectángulo Por lo tanto, el cuadrado cuenta con todas las propiedades del paralelogramo, del rombo y del rectángulo. Resumiremos todas sus propiedades aquí:
Todos los lados del cuadrado son iguales.
Todos los ángulos del cuadrado miden 90 grados.
En un cuadrado hay dos pares de lados opuestos paralelos.
Las diagonales del cuadrado se intersecan, son perpendiculares e iguales.
¿Cómo puedes demostrar que cierto cuadrilátero es un cuadrado?
Si tienes ante ti un cuadrilátero y sabes que todos sus lados (o aristas) son iguales y todos sus ángulos también lo son, podrás concluir que ¡se trata de un cuadrado!
Además, en ciertos casos podrás demostrar que el cuadrilátero que tienes es un rombo o un rectángulo y, desde este punto, podrás encontrar la propiedad que demuestra que dicho rectángulo o rombo es un cuadrado.
¿Cómo podemos demostrar que un cuadrilátero es un cuadrado si no tenemos ningún dato?
Primer paso
Demostraremos que el cuadrilátero es un paralelogramo.
¿No recuerdas cómo se demuestra que cierto cuadrilátero es un paralelogramo? Recordatorio de demostraciones:
Cualquier cuadrilátero cuyos lados opuestos también sean paralelos es un paralelogramo.
Cualquier cuadrilátero cuyos lados opuestos también sean iguales entre sí, es un paralelogramo.
Si en cierto cuadrilátero hay un par de lados opuestos que son iguales y también paralelos, el cuadrilátero es un paralelogramo.
Si las diagonales del cuadrilátero se intersecan se trata de un paralelogramo.
Si en cierto cuadrilátero hay dos pares de ángulos opuestos que son iguales, se trata de un paralelogramo.
¿Crees que podrás resolverlo?
Ejercicio 1
Dado el cuadrilátero ABCD:
¿El cuadrilátero de arriba es necesariamente un cuadrado?
¿Cómo puedes demostrar que cierto paralelogramo es un cuadrado? Para comenzar deberemos demostrar que el paralelogramo es un rombo o un rectángulo. Luego, deberemos demostrar, en base a las condiciones especificadas anteriormente, que el rombo o el rectángulo es un cuadrado.
Área del cuadrado
El cálculo del área de un cuadrado es muy simple y es similar al cálculo del área de un rectángulo. Para calcular el área de un cuadrado multiplicaremos lado por lado. En el cuadrado todos los lados son iguales y, por lo tanto, el área del cuadrado equivaldrá a lado al cuadrado o lado por lado (que de hecho es un lado multiplicado por sí mismo). Veámoslo ilustrado y en la fórmula:
Indicaremos el área del cuadrado con la letra A La fórmula será: A=a×a o A=a2
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Cuadrado: Ejemplos y ejercicios con soluciones
Ejercicio #1
Dado el cuadrilátero ABCD:
¿Es el cuadrilátero mencionado necesariamente un cuadrado?
Solución
Como vemos que BD es igual a 8 y AC es igual a 7, los lados no son iguales, y esto contradice las propiedades del cuadrado, donde todos los lados son iguales entre sí, por lo tanto el cuadrilátero no es un cuadrado
Respuesta
No
Ejercicio #2
Dado el cuadrado:
¿Es AF necesariamente igual a ED con los datos disponibles?
Solución
Como no se nos da que FD es paralelo a AE, no se puede argumentar que AF sea necesariamente igual a ED
Respuesta
No
Ejercicio #3
Dado el cuadrado:
¿Es BE igual a CE?
Solución
De acuerdo con las propiedades del cuadrado, las diagonales se cruzan entre sí, por lo tanto, BE es igual a CE
Respuesta
Si
Ejercicio #4
Dado el cuadrado ABCD y el paralelogramo AFED
El área del paralelogramo es igual a 100
ED=5
¿Cuánto mide AC?
Solución
El área de un paralelogramo es igual al lado multiplicado por la altura, como sabemos que ED es igual a 5, el área también está dada.
Colocamos los datos en la siguiente fórmula:
S=AC×ED
100=AC×5
Dividimos por 5 a las dos secciones:
5100=55AC
20=AC
Respuesta
20
Ejercicio #5
Dado el cuadrado:
¿Qué tipos de triángulos forman las diagonales en el cuadrado?
Solución
Las diagonales del cuadrado se cruzan entre sí, por lo que los cuatro triángulos son isósceles. Además, dado que las diagonales son perpendiculares entre sí, las diagonales forman cuatro triángulos rectángulos. Por lo tanto las respuestas correctas son A+C