Simplificación de fracciones algebraicas

Cuando tengamos números iguales o con un común denominador en el numerador y en el denominador podremos, en ciertos casos, simplificar las fracciones.

Muchas veces nos toparemos con alguna fracción algebraica en la que se puedan simplificar el numerador y el denominador. Por ejemplo, esta ecuación:

$4\over12x$

es una fracción que podemos simplificar. La simplificación de fracciones algebraicas es una operación muy importante que nos ahorrará mucho tiempo al resolver ejercicios y nos ayudará a evitar errores. En este artículo aprenderemos cuándo se puede y cuándo no está permitido simplificar el numerador y el denominador.

‎¡Recuerda‎!‎ Se puede simplificar entre numerador y denominador cuando entre los términos hay operaciones de multiplicación y no hay sumas ni restas. 

Primero observa el ejercicio que se ve a continuación e intenta entenderlo.
1) Trata de sacar el factor común.
2) Intenta simplificar con las fórmulas de multiplicación abreviada.
3) ‎Intenta descomponerlo en factores con trinomios.

En nuestro ejercicio hay un número en el numerador. En el denominador hay una multiplicación de $12$ por la incógnita $X$. Por consiguiente, se puede simplificar‎.
‎Nos daremos cuenta de que tanto el $4$ como el $12$ se pueden dividir por $4$, lo anotaremos de la siguiente manera:

$\frac{4}{12x}=\frac{4}{4\cdot3x}=\frac{1}{3x}$

Un ejercicio de este tipo no se puede simplificar porque hay una suma:

$4\over12+x$

Muchas veces nos toparemos con alguna fracción algebraica en la que se pueden simplificar el numerador y el denominador. Por ejemplo, esta ecuación:

$4\over12x$

es una fracción que podemos simplificar. Enseguida entenderemos por qué y cómo se puede simplificar. La simplificación de fracciones algebraicas es una operación muy importante que nos ahorrará mucho tiempo al resolver ejercicios y nos ayudará a evitar errores. En este artículo aprenderemos cuándo se puede y cuándo no se puede simplificar el numerador y el denominador.

¡Recuerda! Se puede simplificar entre numerador y denominador cuando entre los términos hay operaciones de multiplicación y no hay sumas ni restas. 

Lo explicaremos con la ayuda de algunos ejemplos.

$4\over12x$

Hay un número en el numerador. En el denominador hay una multiplicación de $12$ por la incógnita $X$. Por consiguiente, podemos simplificar. Lo escribiremos del siguiente modo:

$4\over12+x$

En este caso, en el denominador hay un signo de sumar y no una multiplicación. Por lo tanto, no se puede simplificar.

$X+2\over2X$

En este caso tampoco está permitido simplificar ya que en el numerador hay una suma.

$3X\over11XY$
En este caso sólo hay multiplicaciones entre los términos de numerador y los del denominador, entonces se pueden simplificar. Simplificaremos en $X$.

$3X(X+2)\over X+2$

En este caso también podemos simplificar ya que la expresión $(x+2)$ se multiplica entera por los demás elementos del numerador. Por lo tanto, podemos considerar al numerador como si sólo incluyera operaciones de multiplicación entre los términos.

Podremos simplificar el numerador y el denominador por la expresión‎ $(x+2)$. 

$\frac {3x+6xy}{12x}$

Vemos que hay una suma en el numerador y, por consiguiente, a primera vista podríamos pensar que no podemos simplificar el numerador y denominador. No es así, ya que podemos extraer el factor común del numerador, tal como hemos aprendido en clases anteriores, y luego, podremos simplificar.

Extraigamos el factor común del numerador:

$\frac {3x+6xy}{12x}=\frac {3x×(1+2y)}{12x}$
Ahora tenemos multiplicaciones entre los términos del numerador y entre los del denominador y, por lo tanto, se puede aplicar la simplificación.

No podremos volver a simplificar la última fracción que obtuvimos ya que ahora tenemos una suma en el numerador y no sólo multiplicación.

Ahora veremos algunos ejemplos de ecuaciones con fracciones que se pueden simplificar.

$\frac {2x^2+6x}{5(x+3)}=1$

Antes que nada, recordemos que debemos anotar el conjunto solución del ejercicio. En los ejemplos previos no se nos había solicitado resolver los ejercicios, por lo tanto, no hemos mencionado el conjunto solución. 

Debemos constatar que el denominador sea distinto de cero, es decir,

$5(x+3)≠ 0$

Dividiremos ambos miembros de la ecuación por $5$ para deshacernos de él:

$/:5$,$5(x+3)≠ 0$

$x+3≠ 0$

$x ≠ -3$

Lo que significa que nuestro conjunto solución es $x ≠ -3$

Ahora volvamos a la solución del ejercicio. Veremos que podemos extraer el factor común del numerador del miembro izquierdo de la ecuación. Obtendremos:

$\frac {2x(x=3)}{5(x+3)}=1$

Nos percataremos de que sólo tenemos operaciones de multiplicación entre los términos del numerador y el denominador, por consiguiente, podemos aplicar la simplificación.
‎Obtendremos:

$\frac {2x}{5}=1$

$2x=5$

$x=\frac {5}{2}$

Nuestro conjunto solución es $x ≠ -3$

O sea, el resultado que obtuvimos está incluido en el conjunto solución.
En esta fase conviene comprobar el resultado colocándolo en el ejercicio original. ¡Inténtalo!

$\frac {x^2-3x}{-(x+15)}=2x+3$

Primeramente, anotaremos cuál es el conjunto solución. Nos interesa constatar que el denominador no equivalga a cero

$-5x+15 ≠ 0$

$5x ≠ 15$

$x ≠ 3$

Es decir, nuestro conjunto solución es $x ≠ 3$

Ahora volvamos a la solución del ejercicio. Extraigamos el factor común del numerador y del denominador del miembro izquierdo de la ecuación:

$\frac {x(x-3)}{-5(x-3)}=2x+3$

Simplifiquemos numerador y denominador

$/*-5$,$\frac{x}{-5}=2x+3$

$x=-10x-15$

$11x=-15$

$x=- \frac{15}{11}$
Recordemos que nuestro conjunto solución es $x ≠ 3$

Es decir, el resultado obtenido concuerda. En esta fase conviene comprobar nuestra respuesta colocándola en el ejercicio original. ¡Inténtalo!

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