Diagonales de un trapecio isósceles

Las diagonales de un trapecio isósceles tienen la misma longitud.
Este teorema se cumple también a la inversa, o sea, podemos determinar que cierto trapecio es isósceles si sabemos que sus diagonales son iguales.

Puedes utilizar este teorema en el examen tal como lo ves y no deberás demostrarlo. 

La segunda propiedad:

Dado el trapecio isósceles $ABCD$ se cumple:

$⊿ADC=⊿BCD$

Observa- Deberás demostrar esta propiedad en el examen. La podemos demostrar basándonos en teorema de congruencia LLL.

Dado el trapecio isósceles $ABCD$ se cumple:

$⊿ADC=⊿BCD$

Observa- Deberás demostrar esta propiedad en el examen. La podemos demostrar basándonos en teorema de congruencia $LLL$.

Las diagonales de un trapecio isósceles crean, junto con las bases,$4$ ángulos iguales.
Los marcaremos.

Observa- Deberás demostrar esta propiedad en el examen.

Las diagonales de un trapecio isósceles crean, junto con las bases, dos triángulos isósceles.
Nos percataremos de que se trata de $⊿AEB$  y de $⊿DEC$.
Marcaremos con color anaranjado los triángulos que se crean a partir de las diagonales y las bases:

Observa- Deberás demostrar esta propiedad en el examen.

Las diagonales de un trapecio isósceles son muy especiales y tienen $4$ propiedades principales que nos ayudarán mucho cuando queramos demostrar cierto argumento en el examen.
Las propiedades de las diagonales son muy lógicas y además, nosotros estamos aquí para ordenar el desorden.

¿Empezamos?

Las diagonales de un trapecio isósceles tienen la misma longitud.
Este teorema se cumple también a la inversa, o sea, podemos determinar que cierto trapecio es isósceles si sabemos que sus diagonales son iguales.
Puedes utilizar este teorema en el examen tal como lo ves y no deberás demostrarlo.

Igualmente, para que recuerdes el teorema por su lógica, conviene que entiendas su razonamiento de base:
Veamos el trapecio $ABCD$ :

Los únicos datos que tenemos son:
1) ABCD trapecio
$AB∥DC$
$AD∦BC$

2)  $AD=BC$

Hay que demostrar: $AC=BD$

Solución:
Observemos este trapecio.
Dado el trapecio y también que $AD=BC$.

Es decir, podemos deducir que el trapecio es isósceles.
En el examen ya podrás deducir que $AC=BD$ ya que las diagonales de un triángulo isósceles tienen la misma longitud.
Pero, para dar un ejemplo, veamos cómo se demuestra este teorema.
Podemos demostrarlo en base a la congruencia de dos triángulos creados por las diagonales:
$⊿ADC$ y $⊿BCD$

De hecho, hemos visto que podemos sobreponer los triángulos que se han creado a partir de las diagonales y, de este modo demostrar la primera propiedad de las diagonales de un trapecio isósceles.

En el trapecio isósceles $ABCD$ se cumple:
$⊿ADC=⊿BCD$

Esta propiedad debemos volver a demostrarla una y otra vez en el examen. Pero, no te preocupes, Podremos hacerlo con suma facilidad y rapidez sobreponiendo los triángulos según LLL .
Observa: Es cierto que hemos demostrado la congruencia de estos triángulos en el primer ejemplo, pero ahora lo haremos basándonos en la primera propiedad de las diagonales de un trapecio isósceles.
Veamos la demostración:

Las diagonales de un trapecio isósceles crean, junto con las bases, $4$ ángulos iguales.
También esta propiedad deberemos volver a demostrarla una y otra vez en el examen para utilizarla.
Sabemos que esta propiedad podría aparentar ser un poco complicada a primera vista, por lo tanto, nos parece muy importante que comiences por observar en la ilustración de qué ángulos estamos hablando:
Marcaremos todos los ángulos que están entre una diagonal y la base, del siguiente modo:

¡Genial! Ahora que ya sabemos de qué ángulos se trata podemos demostrar que son iguales basándonos en la congruencia de los triángulos que realizamos más arriba. O sea, congruencia entre 
$.⊿ADC=⊿BCD$
Observa- Para demostrar esta propiedad deberás saber cuáles son los ángulos correspondientes y cuáles los alternos.
Luego de haber demostrado la congruencia de los triángulos podremos alegar que:

Las diagonales de un trapecio isósceles crean, junto con las bases, dos triángulos isósceles.
También esta propiedad deberemos volver a demostrarla una y otra vez en el examen para utilizarla.
Primeramente veamos de qué triángulos se trata.
Marcaremos con color anaranjado los triángulos que se crean con las diagonales y las bases:

Observemos que se trata de $⊿AEB$ y de $⊿DEC$

En la propiedad previa hemos demostrado que los ángulos verdes que surgen de las diagonales del trapecio isósceles y las bases son equivalentes.
Nosotros ya sabemos que los lados opuestos a ángulos equivalentes tienen la misma longitud. Por lo tanto, la demostración se verá del siguiente modo:
Luego de que demostremos que los ángulos verdes son equivalentes podremos alegar que:

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¡Genial! Ahora ya conoces las propiedades importantes de las diagonales de un trapecio isósceles.
Podrás demostrarlas sin ningún problema y utilizarlas como argumentos siempre que debas demostrar algo.