Lado, lado y el ángulo opuesto al mayor de los dos lados

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Cuarto teorema de congruencia: lado, lado y el ángulo opuesto al mayor de los dos lados

En síntesis: LLA
Significa que:
si dos triángulos tienen dos lados iguales y también es igual el ángulo opuesto al mayor de los dos lados, los triángulos son congruentes.

imgen LLA

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Test yourself on side, side and the angle opposite to the major side!

einstein

Given the triangles in the drawing

Determine which of the statements is correct:

343434343434555444444555AAABBBCCCDDDEEEFFF

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Lado, lado y el ángulo opuesto al mayor de los dos lados

Ha llegado la hora de estudiar el cuarto teorema de congruencia: Lado, lado y el ángulo opuesto al mayor de los dos lados
o abreviando:

LLA
este teorema de congruencia es práctico y cómodo, y nos ayudará a demostrar la congruencia en triángulos bajo ciertas condiciones sencillas.
¿Qué dice el teorema de congruencia Lado, lado y el ángulo opuesto al mayor de los dos lados?
Si dos triángulos tienen dos lados iguales y también es igual el ángulo opuesto al mayor de los dos lados, los triángulos son congruentes.
¿Qué quiere decir?


Veámoslo en una ilustración:

imgen LLA

Si tenemos:
AB=DEAB=DE
y también:
AC=DFAC=DF

Es decir, los triángulos tienen dos lados iguales,

y también:
B=E∢B=∢E

cuando
​​​​​​​AC>AB​​​​​​​AC>AB

Es decir, también el ángulo opuesto al mayor de los lados es igual.
Podemos determinar que los triángulos son congruentes según el teorema LLA

Pon atención en que, a pesar de que está dado en sólo un triángulo  AC>ABAC>AB
pero, ya que tenemos un dato previo que dice que: 
AB=DEAB=DE
y también:
AC=DFAC=DF

podremos determinar acorde a la relación transitiva que también: DF>DE DF>DE

Por lo tanto, determinaremos que:
ABCDEF⊿ABC≅⊿DEF

Observa que hemos escrito la congruencia en el orden correcto.
Cuando 
AB=DEAB=DE
AC=DFAC=DF
B=E∢B=∢E

Ya que los triángulos son congruentes, idénticos en sus lados y en sus ángulos podremos decir que:
AB=DEAB=DE
BC=EFBC=EF
AC=DFAC=DF
A=D∢A=∢D
B=E∢B=∢E
C=F∢C=∢F


Resaltemos ciertas características del cuarto teorema de congruencia:

Recuerda que deben ocurrir 3 circunstancias y una condición:
Las 3 circunstancias requeridas son:

  • Un lado de uno de los triángulos tiene que ser igual a otro lado del segundo triángulo
  • Otro lado de uno de los triángulos tiene que ser igual a otro lado del segundo triángulo
  • Un ángulo de uno de los triángulos tiene que ser igual a otro ángulo del segundo triángulo

La condición:

  • El ángulo en cuestión debe estar frente al lado de mayor longitud entre los dos lados a los que se hace referencia en las circunstancias requeridas (en ambos triángulos).
  • Si se cumplen todas las circunstancias y también la condición, podremos demostrar que los triángulos realmente son congruentes.

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¿Cómo podemos demostrar que un lado es mayor que otro en un triángulo?

Veamos algunas maneras de hacerlo:

  • Según los datos dados en la pregunta:
    En ciertos casos el dato puede estar escrito como se ve en el ejemplo anterior o con un número.
    A veces deberás deducirlo de otros datos, por ejemplo si el lado AC=5AC=5 y el lado AB=4AB=4  entonces AC>ABAC>AB

    siempre y cuando el ángulo en cuestión se encuentre frente al lado de mayor longitud, en nuestro caso ACAC  y si se cumplen las demás circunstancias, podremos demostrar la congruencia de los triángulos.

  • Cuando no se nos revela la longitud de los lados nos basaremos en los ángulos:

    Veamos la siguiente propiedad:
    cuando un lado está frente a un ángulo de 90o 90^o grados o más, éste será el lado de mayor longitud del triángulo.
    Por consiguiente, podremos determinar con suma confianza que este lado es mayor que cualquier otro lado del triángulo.

    Además, es muy importante que conozcas el siguiente teorema:
    En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
    Es decir, si tenemos ángulos que uno es mayor que otro podremos determinar que el lado opuesto al ángulo más grande es mayor que el lado opuesto al ángulo más pequeño.

    Observa:
    El ángulo en cuestión no necesariamente debe ser el más grande de todos los ángulos del triángulo, sino que debe encontrarse frente al lado de mayor longitud entre los dos lados examinados.
    El lado opuesto al ángulo tampoco debe, necesariamente, ser el mayor de todos los lados , sino sólo del otro lado en cuestión.

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Ejercicios de lado, lado y el ángulo opuesto al mayor de los dos lados

Ejercicio 1

Consigna

Dado: el cuadrilátero ABCD ABCD es un paralelogramo.

¿Según qué teorema de congruencia los triángulos ΔADOΔCBO ΔADO≅ΔCBO se superponen?

el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo

Solución

Dado que el cuadrilátero ABCD ABCD es un rectángulo, en el rectángulo hay dos pares de lados paralelos iguales, por lo tanto:

BC=AD BC=AD

Ángulos alternos entre rectas paralelas son iguales, por lo tanto:

BCO=DAO \sphericalangle BCO=\sphericalangle DAO

Ángulos opuestos por el vértice iguales, y por lo tanto:

O1=O2 \sphericalangle O_1=\sphericalangle O_2

Comprobamos que los triángulos congruentes según el teorema de lado, ángulo, ángulo.

Respuesta:

Congruentes según A.L.A


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Ejercicio 2

Consigna

¿DE DE no es un lado en ninguno de los triángulos?

DE no es un lado en ninguno de los triángulos

Solución

Si miramos el gráfico vemos que desde un punto E E sale un línea al punto D D por lo tanto E E es una línea recta que no es un lado de ningún triángulo en el dibujo.

Respuesta

Verdadero


Ejercicio 3

Consigna

En el dibujo dado:

En el dibujo dado AB=CD

AB=CD AB=CD

BAC=DCA ∢\text{BAC}=∢\text{DCA}

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔABCΔCDA ΔABC≅ΔCDA ?

Solución

Dado que AB=CD AB=CD

Dado que BAC=DCA ∢\text{BAC}=∢\text{DCA}

AC=AC AC=AC es el lado común

Comprobamos que los triángulos son congruentes según lado, ángulo, lado

Respuesta

Congruentes según L.A.L


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Ejercicio 4

4 - Dado el rectángulo  ABCD de lado  AB  de longitud de 4.5 cm y el lado BC de longitud 2  cm

Consigna

Dado el rectángulo ABCD ABCD de lado AB AB de longitud de 4.5 4.5 cm y el lado BC BC de longitud 2 2 cm.

¿Cuál es el área del rectángulo?

Solución

La fórmula de cálculo del área rectangular es la base multiplicada por la altura, en este caso reemplazamos

4.5×2=9 4.5\times2=9

Respuesta

9cm2 9 cm²


Ejercicio 5

Consigna

Los segmentos BE BE y AC AC se cruzan en el punto D D .

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔABDΔCED ΔABD≅ΔCED ?

Los segmentos BE  y AC se cruzan en el punto D

Solución

BE BE y AC AC

Se cruzan en un punto D D

AD=DC AD=DC

D D intersecta BE BE

ADB=EDC \sphericalangle ADB=\sphericalangle EDC

Ángulos opuestos por el vértice

Triángulos superpuestos según L.A.L L.A.L

Respuesta

Superpuestos L.A.L L.A.L


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