¿Notaste el cuadrilátero que se obtiene en la intersección de 2 vías de tren? ¿Cómo se llama ? ¿Cuáles son sus características? Echemos un vistazo a las vías del tren, ¿por qué las vías del tren son 2 vías paralelas? Para que el tren no se salga de las vías debe haber 2 vías que deben distanciarse siempre en la misma longitud. Esta es la definición de líneas paralelas que nunca se encuentran porque la distancia entre ellas siempre es igual. Esta es la definición de las líneas paralelas que nunca se encuentran porque la distancia entre ellas siempre es igual. Al momento que se encuentran 2 vías de tren, se obtiene un cuadrilátero entre ellas, que tiene 2 pares de lados opuestos paralelos, que es el paralelogramo
Si el dato es:
ABǁCD
ADǁBC
Entonces: ABCD es un paralelogramo
Conceptos básicos sobre el tema del paralelogramo
Lados opuestos en un cuadrilátero : son lados que no tienen un punto de encuentro común.
Lados adyacentes en un cuadrílatero : son lados que tienen un punto de encuentro común.
Ángulos opuestos en el cuadrilátero son ángulos que no tienen lados comunes.
Diagonal : es una sección que conecta 2 vértices no adyacentes (y no es un lado )
Ángulos opuestos por el vértice : 2 líneas rectas que se cruzan entre sí para formar 4 ángulos en su punto de encuentro. Los 2 ángulos no adyacentes se llaman vértices.
Ángulos correspondientes entre paralelas : la línea que cruza 2 líneas paralelas se forma alrededor de cada punto de intersección con cada línea de 4 ángulos. Cualquier par de ángulos que estén en la misma posición alrededor de los puntos de intersección se denominan ángulos correspondientes. Cuando las rectas son paralelas, los ángulos correspondientes también son iguales
Ángulos alternos internos entre paralelas : cada ángulo alrededor de un punto de intersección superior con el vértice al ángulo correspondiente alrededor de un segundo punto de intersección forma un par de ángulos alternos. Una marca de identificación: es posible buscar ángulos entre la forma de Z en el corte de las líneas rectas. Cuando las líneas son paralelas, el corte crea ángulos alternos iguales.
Ángulos colaterales internos entre paralelas : cualquier ángulo alrededor de un punto de intersección superior con el ángulo adyacente correspondiente a ese lado alrededor de un segundo punto de intersección. La suma de los ángulos unilaterales entre paralelos es 180o
Para calcular elárea de un paralelogramo trazaremos una línea desde uno de los vértices con altura al lado opuesto.
Área del paralelogramo = base x altura
Cálculo del área de un paralelogramo mediante la trigonometría
Es posible calcular el área de un paralelogramo incluso sin altura, usando trigonometría: multiplicando 2 lados adyacentes en el seno del ángulo entre ellos.
A veces, el hecho de que las diagonales dividan al paralelogramo en 4triángulos equiláteros, nos permite mediante el uso de las mitades de las diagonales y el seno del ángulo entre ellas encontrar el área del paralelogramo. Es suficiente encontrar un solo triángulo y multiplicarlo por 4.
Comprobación del paralelogramo
¿Cuáles son las condiciones necesarias para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo?
Definición: un cuadrilátero que tiene 2 pares de lados opuestos paralelos se denomina paralelogramo.
¿Cuáles son los teoremas adicionales que nos permiten determinar sin información que los lados opuestos son paralelos que el cuadrilátero es un paralelogramo?
Un cuadrilátero donde 2 pares de lados opuestos son iguales es un paralelogramo
Según la figura
AB=DC
AD=BC
AC=AC Este es un lado común
Se puede concluir:
ΔABC≅ΔCDA Según el teorema de congruencia: lado, lado, lado
Por lo tanto:
∢BAC=∢ACD
∢ACB=∢DAC
Según el teorema ángulos correspondientes en triángulos congruentes iguales
Por lo tanto:
ABǁDC
ADǁBC [cuando los ángulos alternos son iguales - las líneas son paralelas]
Por lo tanto, ABCD es un paralelogramo (2 pares de lados opuestos paralelos)
Un cuadrilátero donde hay 2 pares de ángulos opuestos iguales es un paralelogramo
Marcaremos:
Ángulos α=B=D
Ángulos β=A=C
La suma de los ángulos en un cuadrilátero es 360o Por tanto se obtiene la ecuación 2α+2β=360o Divida la ecuación por 2 y obtenga: 180o=β+α
Por lo tanto
ABǁDC
ADǁBC {cuando la suma de los ángulos de uno de los lado es 180o entonces son líneas paralelas}
ABCD es un paralelogramo (cuando hay 2 pares de lados opuestos paralelos es un paralelogramo)
Un cuadrilátero donde las diagonales se cruzan entre sí es un paralelogramo.
Cuando se le da:
AO=CO
BO=DO
Y el ángulo atrapado entre ellos:
∢AOB=∢DOC (Ángulos opuestos por el vértice iguales)
Se puede concluir que: ΔABO≅ΔCOD (según el teorema de congruencia: lado, ángulo, lado)
Por lo tanto:
AB=CD (lados correspondientes en triángulos congruentes iguales)
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Ejercicios de paralelogramo
Ejercicio 1
Consigna
Dado el cuadrilátero ABCD
Dado que:
∢D=95o
∢C=85o
¿Es posible determinar que este cuadrilátero es un paralelogramo?
Solución
De hecho, este cuadrilátero es un paralelogramo porque dos ángulos son adyacentes
el mismo lado, complementario a: 180o
Respuesta
Si
Ejercicio 2
Consigna
Dado el cuadrilátero ABCD
Dado que:
∢A=100o
∢C=80o
¿Es posible determinar que este cuadrilátero es un paralelogramo?
Solución
De hecho, este cuadrilátero es un paralelogramo porque dos ángulos son adyacentes
el mismo lado, complementario a: 180o
Respuesta
Si
Ejercicio 3
Consigna
Dado el cuadrilátero ABCD
que:
∢A=100°,
Y... ∢C=70°
¿Es posible determinar que este cuadrilátero es un paralelogramo?
Solución:
La definición de un paralelogramo es un cuadrado con dos pares de lados paralelos..
En este caso el cuadrilátero no es un paralelogramo porque dos ángulos adyacentes del mismo lado no suman 180o grados
Respuesta:
No
Ejercicio 4
Consigna
Dado el cuadrilátero ABCD
AB=20
CD=20
BD=8
AC=8
¿Es posible determinar que este cuadrilátero es un paralelogramo?
Solución
De hecho, este cuadrilátero es un paralelogramo porque si en un cuadrilátero dos pares de lados opuestos tienen la misma longitud, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
Respuesta
Si
Ejercicio 5
Consigna
Dado el cuadrilátero ABCD
AF=4
FD=6
BF=2
FC=3
¿Es posible determinar que este cuadrilátero es un paralelogramo?
Solución
Este cuadrilátero no es un paralelogramo porque un cuadrilátero cuyas diagonales se cruzan es un paralelogramo. En este caso, las diagonales no se cortan entre sí.