Ejemplos, ejercicios y soluciones con el teorema de Pitágoras

Dado el triángulo del dibujo. ¿Cuál es el largo AB?

Para hallar el lado AB, necesitaremos usar el teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras nos permite hallar el tercer lado de un triángulo rectángulo, si tenemos los otros dos lados.

Puedes leer todo sobre el teorema aquí.

Teorema de Pitágoras:

$A^2+B^2=C^2$

Es decir, un lado de un cuadrado más el segundo lado de un cuadrado es igual al tercer lado de un cuadrado.

Reemplazamos los datos existentes:

$3^2+2^2=AB^2$

$9+4=AB^2$

$13=AB^2$

Extraemos la raíz:

$\sqrt{13}=AB$

$\sqrt{13}$ cm

Dado el triángulo del dibujo. Halla el largo AC

Para resolver el ejercicio, tenemos que utilizar el teorema de Pitágoras:

A²+B²=C²

Reemplazamos los datos que tenemos:

3²+4²=C²

9+16=C²

25=C²

5=C

5 cm

Dado el triángulo rectángulo:

¿Cuál es el largo del tercer lado?

Usamos el teorema de Pitágoras

$AC^2+AB^2=BC^2$

Reemplazamos los datos que conocemos:

$3^2+4^2=BC^2$

$9+16=BC^2$

$25=BC^2$

Extraemos la raíz:

$\sqrt{25}=BC$

$5=BC$

5

Dado el triángulo del dibujo. ¿Cuál es el largo BC?

Para resolver el ejercicio es necesario conocer el Teorema de Pitágoras:

A²+B²=C²

Reemplazamos los datos conocidos:

2²+B²=7²

4+B²=49

Traspasamos las secciones:

B²=49-4

B²=45

Extraemos la raíz

B=√45

Básicamente esta es la solución, pero usando las reglas de las raíces, podemos descomponer la raíz un poco más.

Primero, descompongamos en números primos:

B=√(9*5)

Usamos la propiedad de raíces en la multiplicación:

B=√9*√5

B=3√5

¡Esta es la solución!

$3\sqrt{5}$ cm

Dado el triángulo ABC, halla el largo BC

Para responder a esta consigna, debemos conocer el Teorema de Pitágoras

El teorema nos permite calcular los lados de un triángulo rectángulo.

Identificamos los lados:

ab = a = 5
bc = b = ?

ac = c = 13

Reemplazamos los datos en el ejercicio:

5²+?² = 13²

Intercambiamos las secciones

?²=13²-5²

?²=169-25

?²=144

?=12

12 cm

Dado el triángulo rectángulo:

¿Cuál es el largo del tercer lado?

Usamos el teorema de Pitágoras:

$AB^2+BC^2=AC^2$

$15$

Dado el triángulo:

¿Cuál es el valor de X?

Es importante recordar: el teorema de Pitágoras es válido solo para triángulos rectángulos.

Este triángulo no tiene un ángulo recto y, por lo tanto, el lado que falta no se puede calcular de esta manera.

No se puede resolver

El triángulo del dibujo es rectángulo e isósceles.

Halla la longitud de los catetos del triángulo

Usamos el teorema de Pitágoras:

$AC^2+BC^2=AB^2$

Como los triángulos son isósceles, el teorema se puede escribir:

$AC^2+AC^2=AB^2$

Reemplazamos los datos que conocemos:

$2AC^2=(8\sqrt{2})^2=64\times2$

Reducimos el 2 y extraemos la raíz:

$AC=\sqrt{64}=8$

$BC=AC=8$

8 cm

Dados los triángulos del dibujo

¿Cuál es la longitud del lado DB?

En esta pregunta tendremos que usar dos veces el teorema de Pitágoras.

A²+B²=C²

Comencemos por hallar el lado CB:

6²+CB²=(2√11)²

36+CB²=4*11

CB²=44-36

CB²=8

CB=√8

Usaremos exactamente la misma manera para hallar el lado DB:

2²+DB²=(√8)²

4+CB²=8

CB²=8-4

CB²=4

CB=√4=2

2 cm

Dado el triángulo de la figura

¿Cuál es su perímetro?

Para hallar el perímetro de un triángulo, primero tendremos que encontrar todos sus lados.

Dados dos lados y sólo queda hallar el perímetro.

Podemos utilizar el Teorema de Pitágoras
$AB^2+BC^2=AC^2$
Reemplazamos todos los datos conocidos:

$AC^2=7^2+3^2$
$AC^2=49+9=58$
Extraemos la raíz:

$AC=\sqrt{58}$
Ahora que tenemos todos los lados, podemos sumarlos y así hallar el perímetro:
$\sqrt{58}+7+3=\sqrt{58}+10$

$10+\sqrt{58}$ cm

Los egipcios decidieron construir otra pirámide que parece un triángulo isósceles cuando se ve de lado.

Cada lado de la pirámide mide 150 mts, la base mide 120 mts.

¿Cuál es la altura de la pirámide?

Como la altura divide a la base en dos partes iguales, a cada una se le llamará X

Ahora calculamos a X:$120:2=60$

Ahora podemos calcular la altura usando el teorema de Pitágoras:

$X^2+H^2=150^2$

Colocamos los datos correspondientes:

$60^2+h^2=150^2$

Extraemos la raíz: $h=\sqrt{150^2-60^2}=\sqrt{22500-3600}=\sqrt{18900}$

$h=30\sqrt{21}$

$30\sqrt{21}$ metro

En el rectángulo ABCD dado:

$BD=25,BC=7$

Calcula el área del rectángulo.

Para hallar el lado DC usaremos el teorema de Pitágoras:

$(BC)^2+(DC)^2=(DB)^2$

Ahora reemplazaremos en el teorema los datos existentes:

$7^2+(DC)^2=25^2$

$49+DC^2=625$

$DC^2=625-49=576$

Extraemos la raíz:

$DC=\sqrt{576}=24$

24

Dado el cuadrado:

¿La suma de las dos diagonales es mayor que la suma de los 3 lados del cuadrado?

Miremos el triángulo BCD, calculemos la diagonal por el teorema de Pitágoras:

$DC^2+BC^2=BD^2$

Como nos dan un lado, sabemos que los otros lados son iguales a 4, por lo que reemplazaremos en consecuencia en la fórmula:

$4^2+4^2=BD^2$

$16+16=BD^2$

$32=BD^2$

Extraemos la raíz:$BD=AC=\sqrt{32}$

Ahora calculamos la suma de las diagonales:

$2\times\sqrt{32}=11.31$

Ahora calculamos la suma de los 3 lados del cuadrado:

$4\times3=12$

Y revelamos que la suma de las dos diagonales es menor que la suma de los 3 lados del cuadrado.

11.31 < 12

Falso

Dado ABCD paralelogramo

CE es la altura del lado AB

CB=5
AE=7
EB=2

¿Cuál es el área del paralelogramo?

Para hallar el área,

primero, se debe hallar la altura del paralelogramo.

Para concluir, observemos el triángulo EBC,

debido a que sabemos que es un triángulo rectángulo (porque es la altura del paralelogramo)

y se puede utilizar el teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2=c^2$

En este caso: $EB^2+EC^2=BC^2$

Colocamos la información dada: $2^2+EC^2=5^2$

Aislamos la variable:$EC^2=5^2+2^2$

Resolvemos:$EC^2=25-4=21$

$EC=\sqrt{21}$

Ahora solo queda calcular el área.

Es importante recordar que para ello se debe utilizar la longitud de cada lado.
Es decir AE+EB=2+7=9

$\sqrt{21}\times9=41.24$

41.24

Dado el triángulo del dibujo

Dado que el área ABC es igual a 2X+16 cm².

Halla el valor de X.

El área del triángulo ABC es igual a:

$\frac{AD\times BC}{2}=2x+16$

Como se nos da el área del triángulo, colocaremos los datos que tenemos sobre el lado BC en la fórmula:

$\frac{AD\times(BD+DC)}{2}=2x+16$

$\frac{AD\times(x+5+3)}{2}=2x+16$

$\frac{AD\times(x+8)}{2}=2x+16$

Multiplicamos por 2 para eliminar el denominador:

$AD\times(x+8)=4x+32$

Dividido por: $(x+8)$

$AD=\frac{4x+32}{(x+8)}$

Escribimos el numerador de la fracción de otra forma:

$AD=\frac{4(x+8)}{(x+8)}$

Simplificamos a X + 8 y obtendremos:

$AD=4$

Ahora nos enfocamos en el triángulo ADC y por el teorema de Pitágoras hallaremos X:

$AD^2+DC^2=AC^2$

Reemplazamos los datos existentes:

$4^2+(x+5)^2=(\sqrt{65})^2$

$16+(x+5)^2\text{ }=65/-16$

$(x+5)^2=49/\sqrt{}$

$x+5=\sqrt{49}$

$x+5=7$

$x=7-5=2$

2 cm