Parábola

La parábola $y=ax^2+bx+c$

Esta función es una función cuadrática y se denomina parábola.

Nos centraremos en dos tipos principales de parábolas: parábolas máximas y mínimas.

También llamada sonriente o feliz.

Un vértice es el punto mínimo de la función, donde $Y$ es el más bajo.

Podemos identificar que es una parábola mínima si la ecuación $a$ es positiva.

También llamado triste o llanto.

Un vértice es el punto máximo de la función, donde $Y$ es el más alto.

Podemos identificar que es una parábola máxima si la ecuación $a$ es negativa.

A la parábola,

el vértice marca su punto más alto.

¿Cómo lo hallamos?

Se puede elegir uno de los dos siguientes métodos:

$X=\frac{-b}{2a}$

El valor de $X$ que recibimos lo reemplazaremos en la función de la parábola y obtendremos el valor de $Y$ relevante.

La fórmula para hallar $X$ un vértice usando dos puntos simétricos es:

El vértice $X$ que recibimos en la función para encontrar el valor del vértice $Y$.

Ahora, pasaremos a los puntos de intersección de la parábola con los ejes $X$ y $Y$

Cuando queremos hallar el punto de intersección con el eje $X$:

Colocaremos $Y=0$ en la ecuación cuadráticay resolveremos usando un trinomio o la fórmula de raíces.

Podemos encontrar parábolas que no son cero y que no tienen ningún punto de intersección con el eje $X$, o que tienen $1$ o un máximo de $2$.

Cuando queremos hallar un punto de intersección con el eje $Y$:

Colocaremos $X=0$ en la ecuación cuadrática y encontraremos las soluciones.

Maravilloso. Ahora nos moveremos a las áreas de aumento y disminución de la función cuadrática.

Las áreas de aumento y disminución describen la $X$ donde la parábola aumenta y donde la parábola disminuye.

La parábola cambia su dominio una vez, en el vértice.

Veamos esto en la figura:

Cuando hay una gráfica:

Examinaremos qué sucede cuando las $X$ son más pequeñas que $X$ vértice y qué sucede cuando las $X$ son mayores que la $X$ vértice.

Cuando no hay gráfica:

1. Examinaremos la ecuación de la función y determinaremos según el coeficiente de $X^2$ si es una función mínima o máxima.
2. Encuentra el vértice $X$ según la fórmula o por puntos simétricos.
3. Trazaremos una gráfica de acuerdo a los datos que hallamos y veremos claramente las áreas de aumento y disminución.

Dominio positivo: describe la $X$ donde el gráfico de la parábola está sobre el eje $X$, con un valor $Y$ positivo.

Dominio negativo: describe el $X$ donde el gráfico de la parábola está debajo del eje $X$, con un valor negativo de $Y$.

Para encontrar los dominios de positividad y negatividad, trazaremos la gráfica de la parábola y preguntaremos:

¿En qué valores $X$ se encuentra el gráfico de parábola sobre el eje $X$, con un valor $Y$ positivo? Este será el dominio de positividad de la parábola.

¿En qué valores de $X$ se encuentra el gráfico de la parábola debajo del eje $X$, con un valor $Y$ negativo? Este será el dominio de negatividad de la parábola.

Veamos esto en la gráfica:

Hallaremos los puntos de intersección con los ejes y los marcaremos en el sistema de ejes.

1. Halla el vértice de la parábola y márcalo en el sistema de ejes.
2. Entenderemos si la parábola es máxima o mínima (según el coeficiente $a$) y trazaremos según las conclusiones.